Kockaív tanmodell
Küszöb a kockahalmazban
A Kockaív egy dobáscsomagot néz. A kockák függetlenek, hatoldalúak, a siker az 5 és a 6. Egy kocka sikere 2/6, azaz 33,33%. A halmaz n kockából áll. A nyitólap kalkulátora ugyanezt a képletet számolja más oldalszámra és más küszöbre is. Itt a hatoldalú, 5-ös küszöb marad, hogy a tábla egy helyen ellenőrizhető legyen.
p = 2/6 = 1/3 P(legalább egy siker) = 1 − (2/3)^n várható sikerszám = n/3
A dobás : a kocka nem fogy. Két siker egymás után nem teszi ritkábbá a harmadikat. Aki a paklis beidegzést hozza át, rossz maradékot keres egy olyan eszközön, amelynek nincs maradéka. A magas, mert egyetlen kör eredménye szélesen szór.
Egy kockától hatig
| Kockák | Legalább egy siker | Várható sikerszám | Biztos 1 ponttal szemben |
|---|---|---|---|
| 1 | 33,33% | 0,33 | A biztos pont többet ér |
| 2 | 55,56% | 0,67 | A biztos pont többet ér |
| 3 | 70,37% | 1,00 | Várható értékben döntetlen |
| 4 | 80,25% | 1,33 | A dobás várható értéke magasabb |
| 5 | 86,83% | 1,67 | A dobás várható értéke magasabb |
| 6 | 91,22% | 2,00 | A dobás várható értéke magasabb |
| A legalább egy siker a (2/3)^n komplementere. 3 kockánál 8/27 = 29,63% a teljes kudarc, 70,37% a legalább egy. 4 kockánál 16/81 = 19,75% a kudarc. 6 kockánál 64/729 = 8,78% a kudarc. | |||
Honnan jön a 80,25%
Négy kockánál a kudarc (2/3)^4 = 16/81. 16 osztva 81-gyel 0,19753. Egy mínusz ez 0,80247, százalékban 80,25. A várható érték 4/3 = 1,33. A négy kockánál a np(1−p) gyöke: 4 × (1/3) × (2/3) = 8/9, a gyöke 0,94. A körök többsége tehát az 1,33 körül, nagyjából egy sikerrel arrébb is lehet.
Biztos pont vagy dobás
A Kockaív körében a játékos választhat: leír 1 pontot dobás nélkül, vagy dob a teljes halmazzal, és minden siker 1 pont. Új dobást a szabály egyszer enged, de csak úgy, hogy az első eredményt eldobja. A második dobás ugyanaz a halmaz, ugyanaz a küszöb. A várható érték az új dobásra ugyanannyi, mint az elsőre volt. Az első dobás eredményét ezért csak akkor érdemes eldobni, ha az kevesebb, mint a halmaz várható értéke, és a játékos a várható pontot nézi, nem egy már biztosan elég sikert.
Három kockánál a várható sikerszám 1,00. A biztos pont és a dobás várható értéke azonos. A különbség a szórásban van. A biztos pont mindig 1. A dobás 70,37% eséllyel ad legalább egyet, de 29,63% eséllyel nullát, és néha kettőt vagy hármat. Ha a játszma állása szerint az 1 pont lezár egy célt, a nulla pedig egy teljes kört vesz el, a biztos pont a jó választás döntetlen várható érték mellett is. Ha a célnak 2 pont kell, és az 1 pont ugyanúgy kevés, mint a nulla, a dobás a járható út, mert csak az tud kettesét adni.
Döntési sor
- Számold ki a halmaz várható sikerszámát: kockák száma osztva hárommal.
- Ha ez kisebb, mint 1, és minden siker 1 pontot ér, a biztos pont a magasabb várható érték.
- Ha nagyobb, mint 1, a dobás a magasabb várható érték.
- Ha egyenlő, nézd meg, hogy a nulla elbírható-e. A várható érték ezt nem mondja meg.
- Új dobást akkor kérj, ha a már az asztalon lévő siker kevesebb, mint a halmaz várható értéke, és a részleges eredmény nem kell egy azonnali célhoz.
Négy kocka, első dobás egy siker
A várható érték 1,33. Az asztalon 1 siker van. Várható értékben az új dobás többet ígér, 0,33 ponttal. Aki az 1 sikert már be tudja váltani egy záruló célra, az a 0,33-ot elveszíti, de a célt hazaviszi. Aki a célhoz kettőt igényel, az az 1 sikerrel úgyis rövid marad, neki az új dobás a számítás szerinti lépés.
Amit a százalék nem helyettesít
A 80,25% azt mondja, hogy négy kockánál gyakran van legalább egy siker. Azt nem mondja meg, hogy a kör pontszáma elég-e a konkrét célhoz. A Kockaívben a küszöböt a célhoz kell mérni, a halmaz méretéhez a biztos ponthoz, a szórását pedig ahhoz, hogy a nulla kör visszafordítható-e.
Három független kockánál a pontosan két siker: C(3,2) × (1/3)^2 × (2/3) = 3 × 1/9 × 2/3 = 6/27 = 22,22%. A pontosan három: (1/3)^3 = 1/27 = 3,70%. Legalább két siker együtt 25,93%. Ezért döntetlen várható érték mellett is ritkább a kettes, mint a „valami sikerül” érzése sugallja. A 70,37% nagy része egyetlen siker.
Ha a siker csak a 6-os, p = 1/6. Négy kocka várható értéke 4/6 = 0,67, ez a biztos 1 pont alatt marad. Ha a siker 4-től felfelé, p = 3/6 = 0,5, négy kocka várható értéke 2,00. A nyitólap kalkulátora ezeket a cseréket számolja. A tábla itt szándékosan egy küszöbnél marad, hogy a döntési sor ne keveredjen össze egy másik p-vel.
A zárt pakli ellenpéldája a Hídív. A kalkulátor a nyitólapon áll, a szórás szócikke a fogalomtárban.