Hídív tanmodell
A fogyó pakli matematikája
A Hídív a szerkesztőség kártyamodellje. Négy játékos, 52 lapos francia pakli, négy szín, színenként 13 lap. Egy leosztásban mindenki öt lapot kap, a többi lap zártan a középen marad. A modell kérdése szűk: mennyi az esélye, hogy egy adott kézben pontosan két kőr van, és mennyi az esélye, hogy legalább egy.
A lapot kihúzás után nem tesszük vissza. Ezt hívjuk nak. A emlékezete a maradék: ami már a kézben van, az a következő játékosnak nem jöhet ki. A kocka másképp viselkedik, ott minden dobás ugyanabból a készletből indul. A különbség neve a füzetben .
Miért számít a maradék
Induláskor 13 kőr van az 52 lap között, ez 25%. Az első lap után a maradék 51 lap. Ha az első kőr volt, 12 kőr marad, az arány 23,53%. Ha nem kőr volt, 13 kőr marad 51 lapból, az arány 25,49%. Öt lapnál ezek az elágazások összeszorzódnak. Aki csak az induló 25%-ot írja fel ötször, az visszatevéses világot számol egy visszatevés nélküli szabályhoz.
A Hídívben a szín önmagában nem pont. A modell azért nézi a kőrt, mert egy későbbi szabály, a színvállalás, a kézben lévő azonos színű lapok számához köt egy plusz lépést a saját asztalon. Két kőr már megnyitja, három kőr erősebb, nulla kőr mellett a lépés zárva marad.
Egy kéz, öt lap
A képletben N a pakli, K a keresett lapok száma, n a húzás, k a keresett lapok a kézben. A Hídív első kezénél N = 52, K = 13, n = 5. A kombinációk: C(13,2) = 78, C(39,3) = 9139, C(52,5) = 2 598 960. A pontosan két kőr esélye 78 × 9139 / 2 598 960 = 27,43%.
P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)
Jelölések ehhez a sorhoz
- N
- 52, a teljes pakli
- K
- 13, a kőrök
- n
- 5, a kéz mérete
- k
- 0, 1, 2, 3, 4 vagy 5 kőr a kézben
A nulla kőr ellenőrzése
C(39,5) = 575 757. Ezt osztva a 2 598 960-nal 22,15% jön ki. Legalább egy kőr esélye tehát 100% − 22,15% = 77,85%. A színvállalás kapuja, a legalább két kőr, ennél szűkebb: a pontosan kettő 27,43%, a három, a négy és az öt kőr együtt viszi a maradékot a 77,85%-on belül.
Kerekítés
A füzet két tizedesre kerekít százalékban. A cellába a kerekítés előtt a teljes hányadost írtuk fel, az adatellenőr a kombinációkat külön szorozta újra.
Amit a kerekítés eltol
Két tizedes egy ötlapos kéznél bőven elég a döntéshez. Ha valaki tíz egymás utáni leosztás összegét nézi, a tizedesek összeadódnak, olyankor érdemes a törtet megtartani, és csak a végén kerekíteni.
| Kőr a kézben | Számláló | Esély | Színvállalás a Hídívben |
|---|---|---|---|
| 0 | C(13,0) × C(39,5) | 22,15% | A kapu zárva |
| 1 | C(13,1) × C(39,4) | 41,14% | A kapu még zárva |
| 2 | C(13,2) × C(39,3) | 27,43% | Alap vállalás |
| 3 | C(13,3) × C(39,2) | 8,15% | Erős vállalás |
| 4 | C(13,4) × C(39,1) | 1,07% | Ritka kéz |
| 5 | C(13,5) × C(39,0) | 0,05% | Teljes szín a kézben |
| A százalékok összege kerekítés után 99,99. A század a kerekítésből hiányzik, a számlálók összege pontosan 2 598 960. C(13,1)×C(39,4) = 13 × 82 251 = 1 069 263, ez 41,14%. | |||
A három kőr celláját is ellenőriztük: C(13,3) = 286, C(39,2) = 741, szorzatuk 211 926, osztva 2 598 960-nal 8,15%. A négy kőr: C(13,4) = 715, C(39,1) = 39, szorzat 27 885, ez 1,07%. Az öt kőr: C(13,5) = 1287, osztva a teljes ötlapos számmal 0,05%.
Hogyan olvasd stratégiaként
Az első kéz kiosztása előtt a legalább két kőr esélye 1 − 0,2215 − 0,4114 = 36,70%. A Hídívben ezért a színvállalásra épülő nyitás a kezek bő harmadában él, a többiben más terv kell. Aki minden leosztásban a kőr kapujára vár, az a játszmák többségében üres köröket ül.
A második kéz már más pakliból jön. Ha az első játékos felmutatott két kőrt, a maradékban 11 kőr és 46 lap van, mire a következő öt lapot húzzuk, feltéve hogy a közbenső lapokat még nem láttuk. A Hídív asztali szabálya szerint a kéz lapjai a vállalás kimondásáig rejtve maradnak, tehát a társnak az induló arány a becsületes szám. Ami látszik, azt viszont bele kell írni a maradékba. A látott lap figyelmen kívül hagyása ugyanaz a hiba, mint a visszatevés feltételezése.
- Láttál egy kőrt a társnál: a saját következő húzásodban K eggyel kisebb, N is eggyel kisebb.
- Láttál egy nem kőr lapot: csak N csökken, K marad, a kőr aránya a maradékban nő.
- Nem láttál semmit: marad az induló sor, a találgatás nem adat.
A „már esedékes” szín
Három kézben nem jött kőr. A pakli nem őrzi a csalódást, csak a lapokat. Ha a három kéz lapjai visszakerültek és újra kevertek, a következő kéz ugyanonnan indul, 13/52-ről. Ha a lapok kint maradtak az asztalon, akkor a maradékot kell nézni, és a kőr vagy sűrűbb, vagy ritkább aszerint, hogy a kint lévő lapok között mennyi kőr volt. A mondat, hogy „most már jönnie kell”, egyik ágon sem szám.
A itt a kézben lévő kőrök átlaga: n × K / N = 5 × 13 / 52 = 1,25. A hipergeometrikus esetben kisebb, mint visszatevés mellett, mert a pakli „kifárad”: sok kőr után nehezebb még egyet húzni. Egyetlen kéz ettől az 1,25-től gyakran eltér. Öt kéz átlaga már közelebb ül hozzá, ha a paklit közben újratöltik.
Ha csak azt kell eldönteni, hogy a legalább egy kőr gyakori-e, elég a nulla kőr útja. Öt egymás utáni „nem kőr” visszatevés nélkül: 39/52 × 38/51 × 37/50 × 36/49 × 35/48. Ez ugyanaz a 22,15%. Egy mínusz ez a szorzat a 77,85%. A pontosan kettőhöz már a kombináció kell, azt a füzet táblája adja, fejből nem várjuk el az asztalnál.
- Írd fel a keresett lapok és a pakli arányát a húzás előtt.
- Ha a lap kint marad, csökkentsd a számlálót és a nevezőt.
- Ha a paklit újra keverik a teljes készlettel, térj vissza az induló arányhoz.
- A „esedékes” érzést ne írd be a számlálóba.
A leggyakoribb elírás, hogy C(39,3)-at 9 139 helyett 9 880-nak veszik, mert a 39 × 38 × 37 szorzatot 6 helyett 5-tel osztják. A három elem kombinációjának nevezője 3 × 2 × 1. A másik tipikus hiba a legalább két kőr összekeverése a pontosan két kőrrel. A színvállalás kapuja a legalább kettő, a tábla második oszlopának egyetlen cellája viszont a pontosan kettő.
A kockás rokonszámítást a Kockaív anyagában találod, az összehasonlító tábla a nyitólapon áll. A szavak hosszabb kifejtése a fogalomtárban van.